¿CÁLCULO MENTAL O CALCULADORA PARA SIMPLES OPERACIONES MATEMÁTICAS?

Nikolai Bogdanov-Belsky (1868-1945) pintó en 1895 este cuadro titulado “Contando en sus cabezas”, en el que un grupo de escolares rusos de 12 ó 13 años tratan de resolver mentalmente el problema matemático que su profesor ha escrito en la pizarra.

Como podéis ver, la operación a resolver por los chavales es la siguiente:

(10² + 11² + 12² + 13² + 14²) / 365

Conozco mucha gente que, siendo capaz, le es absolutamente imposible calcular mentalmente, no ya la complicada fórmula anterior, sino una simple suma u operación matemática.

Y esto ocurre porque nos hemos acostumbrado y ya no podemos entender que muchas de esas simples operaciones se pueden hacer sin calculadoras.

Un claro ejemplo lo tenemos a la hora de pedir la cuenta en un restaurante y dividir el importe entre el número de comensales para ver “a cuanto toca por cabeza”: enseguida echamos mano de la calculadora del teléfono móvil.

Este cuadro de 1895 de Bogdanov-Belsky, con los niños tratando de resolver mentalmente un problema matemático, me ha recordado que hubo una época no tan lejana en que la gente era capaz de vivir diariamente sin calculadoras, y se desarrollaba, en cambio, esa habilidad casi olvidada hoy en día del simple cálculo mental o a mano.

Ojo, que no hay duda que las calculadoras, desde sus inicios, son un gran invento y ayuda, y que está muy bien utilizarlas cuando es necesario, pero con su uso hasta para las más sencillas operaciones tal vez estamos “dejando morir” esa habilidad que también a nosotros nos enseñaron nuestros sabios maestros en la escuela.

Por cierto, la solución al problema es 2.

…Y, a diferencia de los niños del cuadro, he tenido que usar la calculadora… 😉

————— Artículo realizado por Guillermo


21 Comentarios

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Lagu

Es una lucha que he tenido siempre con los sobrinos a los que he tenido que echar una mano en las mates que se me han dado muy bien. Intentar que dejasen de echar mano a la calculadora en cuanto hubiese una cuenta, por simple que fuese. Ha costado lo suyo, pero al final ellos mismos me han agradecido todas esas clases en las que les quitaba la calculadora.

Enhorabuena por el post.

Saludos

Juan

Daniel Liberal

Este cálculo se puede resolver “facilmente” sin calculadora recordando la fórmula de binomios cuadrados: (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
El dividendo lo podemos reescribir como:
(10^2 + (10+1)^2 + (10+2)^2 + (10+3)^2 + (10+4)^2)
Ahora se aplica la fórmula de binomios cuadrados:
(100 + 100 + 20 + 1 + 100 + 40 + 4 + 100 + 60 + 9 + 100 + 80 + 16) = 730
Y efectivamente 730 / 365 = 2

AnonymousAnonymous

100+121+144+169+196
Esa es la unica parte dificil del problema,
el sumar esos 5 numeros (porque para sacar
las potencias, comenzando desde 10×10 que
todos sabemos que es 100, se suma 21, 23,
25, 27, 29, 31, etc).
Truco para la suma: se coge cada numero
independiente y se llega hasta la siguiente
decena (y se memoriza la diferencia), se hace
con todos apilando la diferencia.
Una vez hecho, solo sumamos cantidades
redondas y le quitamos el total apilado.

Teoricamente seria un numero dificil de
dividir si no fuera porque queda mu claro que
sale el doble del denominador :)

jdsa

Un cuadro que no conocía y que es digno del Observatorio de la amiga Kore. 😉

Buenas entradas para arrancar de nuevo con la Aldea 😀

Ayoze

Las soluciones que decís están mejor, pero es mucho más fácil cuando te das cuenta que:
10^2 + 11^2 + 12^2 = 365
13^2 + 14^2 = 365

:)

AnonymousAnonymous

Lo intente hacer como dice daniel pero de cabeza me perdi así que lo hice con:

((12-2)^2 + (12-1)^2 + (12)^2 + (12+1)^2 + (12+2)^2)

con lo que queda

144 +4 + 144 +1 +144 + 144+1 + 144+4

AnonymousAnonymous

El cálculo mental me ha resultado sencillo. Yo me sabía todas las potencias, aunque no estaba seguro de las del 13 y del 14. Iba sumando y cuando llevaba las del 10, 11 y 12 eran 365, así que parecía obvio que la suma de los cuadrados resultase en el doble del denominador. Directamente le resté al denominador el cuadrado de 13 y resultó en el cuadrado de 14. :)

guillermo

Joé, veo que tenemos en la Aldea unos lectores de mente privilegiada (no esperábamos menos) :)
Gracias a todos por vuestros comentarios. Saludos.

Albo

Me gusta que el ejercicio sea la búsqueda de la mejor manera para resolverlo, pero la resolución del cálculo no la veo necesaria, la calculadora funciona muy bien para eso y es muy eficiente haciendo operaciones simples.
Siempre me desagradó la idea de que no te permitan usar una calculadora en una clase de Matemáticas, me hace pensar que el profesor no se esmera en crear un ejercicio y simplemente le interesa que resolvamos la mecánica.
Les aseguro que en la universidad donde curso (la UBA) incluso con la calculadora gráfica es difícil resolver los ejercicios.

zordor

Bueno yo las potencias de 2 de los números del 10 al 20 me las tuve que aprender en el cole de pequeño y he de decir que me fui muy útil, por ejemplo como ahora 😛

Tras esto ves que los tres primeros cuadrados suman justo 365, luego haces los otros dos y anda que casulidad suman lo mismo, la respuesta es dos entonces :)

MiguelMiguel

Yo calculé así: sabiendo que 10*10=100 11*11=121 y 12*12=144; y que 13*13=1xx 14*14=1xx y 15*15=1xx; más o menos 100+121+144+1xx+1xx+1xx = 7xx; y asumiendo que la respuesta al problema debe ser un numero entero pues 7xx/365 solo puede ser 730/365, que solo puede ser 2. Sin siquiera hacer la suma..

AnonymousAnonymous

Más fácil si te sabes la tabla de multiplicar del 11, 12, 13, 14 … como se estudiaba antiguamente

trankilo-

No hablaré de “mates” sino del la maravilla de cuadro, tiene unos detalles impresionantes y es bellisinmo, por las ropas, debe ser ruso y el detalle del maestro que escucha al niño es enternecedor.
Saludos desde Madrid y enhorabuena por el blog.
trankilo-

Ese

La expresión de los chavales en el cuadro es perfecta.
Haciendo el calculo mentalmente creo que he puesto la misma cara. Yo procuro hacer los calculos mentalmente cuando puedo, aunque a veces si que da pereza si.

Por cierto, el otro día vi que han traducico ya al castellano el libro de Jill Bolte Taylor.

JarFil

La solución es muy simple sabiendo (o habiendo descubierto por uno mismo) la fórmula de la progresión de cuadrados:

(x+1)*(x+1) = x*x + x + (x+1)

De ahí que el resultado de la suma sea:
(10*10)*5 + (10+11)*4 + (11+12)*3 + (12+13)*2 + (13+14)

O lo que es lo mismo:
(10*10)*5 + (10+10)*10 + 1*4 + 3*3 + 5*2 + 7
= 500 + 200 + 4 + 9 + 10 + 7
= 730

Se puede hacer de carrerilla incluso contando con los dedos.

AnonymousAnonymous

Trankilo:

Totalmente de acuerdo con tu comentario sobre la ternura. Lo cierto es que el maestro del cuadro tiene nombre, S. Rachinski (http://www.geocities.com/algebrarecr...06.html#p08), que abandonó una cátedra universitaria para enseñar en una escuela rural.

Ahí va mi granito de arena:

Tras juguetear un poco con el ejercicio del cuadro, surge ante mí un problema interesante:

Calcular el cociente y el resto de la división

(11^2 + 12^2 +13^2 +14^2):12

y ya puestos para

(12^2 +13^2 +14^2 + 15^2):13

(13^2 +14^2 + 15^2 +16^2):14

etc.

No se trata de un problema de cálculo mental aunque tal vez sí.

Mucho me temo que, a día de hoy, la pregunta “¿cálculo mental o calculadora?”, sólo ha sido abordada desde un punto de vista ideológico. No hay estudios significativos y definitivos, aunque si indicios de que el abandono de la instrucción de las cuatro reglas con lápiz y papel y/o “de cabeza”, estaría teniendo un impacto negativo en las nuevas generaciones. Googlear un poco y consultad las conclusiones del “Mathematics Advisory Panel”.

BeneDick16"BeneDick16"

Como el primer anónimo, conocía desde niño los cinco cuadrados (100, 121, 144, 169 y 196) y cómo obtenerlos en caso de duda (100 + 21 + 23 + 25 + 27…). Este tipo de técnicas sencillas me han sido de mucha utilidad en mis estudios posteriores e intentaré enseñárselas poco a poco a mis pequeños hijos. En cuanto al cuadro, me parece una verdadera joya.

Warein

Que gracioso los comentarios de la gente diciendo como sumar números de 3 cifras xDDDD sobre todo el friki que dice que es más fácil haciendo el cuadrado de una suma. A ver, así NO es más fácil. El cálculo del cuadro es un poco tonto, pero coincido contigo en que muy a menudo se utilizan las calculadoras para cálculos extremádamente fáciles.

Francisco Camiña CeballosFrancisco Camiña Ceballos

Algo nuevo…

Siempre se le ha dado mucha importancia a la rapidez del cálculo mental (aparece de hecho en los test de IQ). Incluso muchas veces se tacha de inculto matemático a aquel que no puede hacer, de cabeza, una simple división en un restaurante. Yo voy a romper una lanza en favor de estas personas, que, como yo, nos sentimos menospreciados por nuestro pobre cálculo mental.

En este mundo tecnológico me parece mucho más importante entender conceptos de estadística, por ejemplo, y de probabilidad que tener un cálculo mental muy rápido y ágil. Por varias razones: la primera es obvia, actualmente la máquina más simple que nos rodea tiene una capacidad de cálculo mucho mayor que la media de nuestros cerebros. Segundo, la estadística y los conceptos de probabilidad son mucho más importantes, para entender este mundo y tener un pensamiento crítico, que poder resolver de cabeza el pepinazo del magnífico cuadro. De que te sirve saber multiplicar y dividir fabulosamente si luego no puedes aplicarlo a casos reales?. Los cálculos son tan solo pasos que hay que hacer para llevar a descubrir una verdad más elevada

Personalmente mi potencia de cálculo mental es bastante ridícula, pero nunca me dan gato por liebre en los medios cuando dan algún dato estadístico, y ya he publicado artículos con desarrollos estadísticos originales. Yo propongo que la educación se centre más en utilizar la matemática para resolver problemas reales que nos ayuden a desarrollar nuestro sentido crítico. Más estadística aplicada y menos pajas mentales.

José Miguel Blanco CasadoJosé Miguel Blanco Casado

Este cuadro me sirvió para demostrar un teorema del que me siento especialmente orgulloso.
Si tienen interés en conocerlo, póngase en contacto conmigo.
Reciban u cordial saludo.

Manuel Miralles López

En el siglo XIX gente que tenía facilidad para el cálculo hasta se exhibía por los teatros realizando grandes operaciones de cálculo mental. Hoy en día, esa gente no practica sus capacidades y finalmente calculan igual de bien o mal que cualquier mortal. Tampoco creo que con el libro electrónico la gente lea mal, o con google ahora todos sepamos las capitales y ríos, o con word, ya no tengamos faltas de ortografía. Un saludo.

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